Opportunità Formative | Introduzione all’integrazione numerica di sistemi evolutivi stocastici.

Titolo: Introduzione all’integrazione numerica di sistemi evolutivi stocastici.

Durata: 10 ore.

Periodo: 4-7 Febbraio 2025

Docente: Stefano Di Giovacchino

Breve introduzione Nella letteratura scientifica, i sistemi evolutivi stocastici nascono dall’esigenza di incorporare fenomeni aleatori, presenti in natura, nei modelli matematici usati per lo studio di molteplici sistemi fisici, descritti maggiormente da equazioni differenziali. In questo corso, verrà trattata la risoluzione numerica di equazioni differenziali stocastiche ordinarie ed alle derivate parziali. Il corso sarà principalmente orientato allo studio analitico di convergenza e stabilità lineare e non-lineare di metodi numerici ad un passo, opportuni per suddette equazioni. Inoltre, parte del corso riguarderà la stesura di software matematico in ambiente Matlab per testare, numericamente, i risultati teorici presentati.

Obiettivi formativi IL CORSO È FINALIZZATO A FORNIRE STRUMENTI, SIA TEORICI CHE PRATICI, PER LA RISOLUZIONE NUMERICA DI PROBLEMI DIFFERENZIALI EVOLUTIVI STOCASTICI. LO STUDENTE ACQUISIRÀ COMPETENZE PRELIMINARI TEORICHE NECESSARIE PER COMPRENDERE, STUDIARE ED IMPLEMENTARE METODI NUMERICI STOCASTICI E PER ANALIZZARNE LE PRINCIPALI PROPRIETÀ GEOMETRICHE E DI STABILITÀ. LO STUDENTE INOLTRE POTRÀ APPRENDERE LE PRINCIPALI CARATTERISTICHE E COMANDI DEL LINGUAGGIO DI PROGRAMMAZIOMNE SCIENTIFICA MATLAB.

Contenuti Richiami sulle equazioni differenziali stocastiche di Ito e di Stratonovich. Studio della buona positura di suddette equazioni. Introduzione alla discretizzazione numerica di equazioni differenziali stocastiche di Ito. Metodi di Eulero-Maruyama e theta-Maruyama. Dimostrazioni di convergenza forte e accenni di dimostrazione di convergenza debole. Implementazione Matlab di suddetti metodi. Introduzione ai metodi stocastici esponenziali. Cenni sullo scenario delle equazioni stocastiche evolutive in spazi di Hilbert.

PrerequisitiTeoria di base sulle equazioni differenziali ordinarie e sul calcolo stocastico di Ito. Elementi basilari di teoria degli spazi di Hilbert. Principi di programmazione.

Metodi didattici LEZIONI FRONTALI, LABORATORIO.

Verifica LA PROVA DI ESAME CONSISTE IN UN COLLOQUIO CHE VERTE SUI CONTENUTI TEORICI DELL'INSEGNAMENTO, AL FINE DI VERIFICARNE L’APPRENDIMENTO. IN ALTERNATIVA, SE CONCORDATO CON IL DOCENTE, LO STUDENTE POTRÀ DISCUTERE UN SEMINARIO DI APPROFONDIMENTO SU UNO DEGLI ARGOMENTI PRESENTATI A LEZIONE, OPPURE ESPORRE IL CONTENUTO DI UN ARTICOLO DI RICERCA, INERENTE AL MATERIALE TARTTATO NEL CORSO.

Bibliografia

1. R. D’Ambrosio. Numerical Approximation of Ordinary Differential Problems: From Deterministic to Stochastic Numerical Methods. Springer, 2023.
2. D.J. Higham, An Algorithmic Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations, SIAM Rew. 43(3), pp. 525—546, 2001.
3. D.J. Higham, P.E. Kloeden, An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations, SIAM 2021.
4. G.J. Lord, C.E. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge University Press, 2014.

Pubblicato il 31 Gennaio 2025