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Titolo	Docente	Periodo	Ore
Processi di ramificazione e applicazioni alla dinamica delle popolazioni	Giacomo Ascione	febbraio-marzo	20
Condizioni di catena in teoria dei gruppi	Fausto De Mari	gennaio	20
Splitting methods for the time integration of Parabolic PDEs of Advection Diffusion Reaction type	Severiano González Pinto	settembre	16
Il metodo di Perron negli spazi armonici astratti e applicazioni alle EDP lineari del secondo ordine con forma caratteristica non negativa	Alessia E. Kogoj	settembre	10
Argomentare, dimostrare, spiegare	Maria Alessandra Mariotti	gennaio-febbraio	10
Un'introduzione ai gruppi di automorfismi di alberi	Marialaura Noce	maggio o settembre	10
Il problema di Poincaré per equazioni ellittiche lineari	Dian Palagachev	febbraio-giugno	10
Gruppi PFG e crescita di sottogruppi	Matteo Vannacci	marzo	10

Processi di ramificazione e applicazioni alla dinamica delle popolazioni

Prerequisiti

Basi di Calcolo delle Probabilità, Processi Stocastici ed Equazioni Differenziali (Ordinarie e alle Derivate Parziali). In ogni caso, tali prerequisiti verranno brevemente ripresi quando necessario.

Contenuti

Nell’abito della dinamica stocastica delle popolazioni, i Processi di Ramificazione rappresentano il building block fondamentale di un grande numero di modelli. Lo scopo principale di questo corso è descrivere questi processi, alcune loro sottoclassi (come i processi di nascita-morte) e generalizzazioni (come i processi di ramificazione multitipo) ed illustrare modelli di dinamica delle popolazioni che ne fanno uso. Il piano degli argomenti trattati è il seguente:

1. Esempi ed applicazioni in dinamica delle popolazioni (Code, Modelli Epidemiologici, Mutazioni). Introduzione alle Funzioni Generatrici di Probabilità.
2. Distribuzioni composte e loro generatrici. Esempio: Compound Poisson Distribution. Prime proprietà del processo di Galton-Watson
3. Classificazione dei processi di Galton-Watson e relazioni asintotiche. Esempio: il linear-fractional case e l’estinzione dei cognomi.
4. Catene di Markov a tempo continuo. Processi di Nascita-Morte e cenni (brevissimi) di teoria spettrale. Esempio: le code M/M/1 e M/M/∞
5. Phase-type distributions: in serie (Hypoexponential) e in parallelo (Hyperexponential). Quasi-Birth-Death processes. Esempio: le code M/Ek/1.
6. Large Population Limits. Esempi: il modello di Lotka-Volterra e il modello SIR.
7. Processi di Ramificazione a tempo continuo. I processi di Nascita-Morte come processi di ramificazione. Esempio: Resistenza delle cellule tumorali agli agenti chemioterapici
8. Processi di Ramificazione Multitipo: Modelli di Luria-Delbruke e Galton-Watson. Esempio: Modello SEIR con dispersione.
9. Processi di Ramificazione con Infiniti tipi. Esempio: il problema di Yule.
10. Modelli age-dependent. Processi di Nascita-Morte semi-Markoviani. Processi di Bellman-Harris. Esempio: Stathmokinetic test.

Riferimenti

Riferimenti principali:

• Harris. The theory of branching processes. Vol. 6. Berlin: Springer, 1963.
• Kimmel and Axelrod. Branching Processes in Biology. Springer, New York, NY, 2015.

Riferimenti ausiliari:

• Feller. An introduction to probability theory and its applications, Volume 1, 3rd Edition, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, 1963
• Karlin and McGregor. "The differential equations of birth-and-death processes, and the Stieltjes moment problem." Transactions of the American Mathematical Society 85.2 (1957): 489-546.
• Karlin and McGregor. "The classification of birth and death processes." Transactions of the American Mathematical Society 86.2 (1957): 366-400.
• Schoutens. Stochastic processes and orthogonal polynomials. Vol. 146. Springer Science & Business Media, 2012.
• Griffiths, Leonenko and Williams. "The transient solution to M/Ek/1 queue." Operations Research Letters 34.3 (2006): 349-354.
• Allen. Stochastic Population and Epidemic Models Persistence and Extinction, Springer, 2015
• Saaty. Elements of queueing theory: with applications. Vol. 34203. New York: McGraw-Hill, 1961.
• Daley and Gani. Epidemic modelling: an introduction. No. 15. Cambridge University Press, 2001.
• Kurtz. "Solutions of ordinary differential equations as limits of pure jump Markov processes." Journal of applied Probability 7.1 (1970): 49-58.
• Appunti forniti dal docente.

Condizioni di catena in teoria dei gruppi

Prerequisiti

Le conoscenze di base di Teoria dei Gruppi.

Contenuti

Una proprietà gruppale si dice una condizione finitaria se è verificata da ogni gruppo finito. A partire dal secolo scorso una parte rilevante della ricerca in teoria dei gruppi si è basata sul fatto che l'imposizione di condizioni finitarie ad un gruppo infinito forzi il gruppo ad essere "vicino" ai gruppi finiti. Questa teoria è stata sviluppata da molti autorevoli matematici, quali R. Baer, S.N. Chernikov, K.A. Hirsch, A.I. Mal'cev e D.I. Zaicev, solo per citarne alcuni.

Esempi di condizioni finitarie sono le classiche condizioni di catena sui sistemi di sottogruppi. Nel corso verranno presentate le condizioni minimale e massimale sui sottogruppi, sui sottogruppi normali e sui sottogruppi subnormali, si evidenzieranno alcune proprietà di queste condizioni e si discuterà sui legami tra esse. Verrà poi descritta la struttura dei gruppi risolubili che verificano una condizione di catena. Si introdurranno inoltre le condizioni deboli di catena e si mostrerà il legame tra queste e la classe dei gruppi minimax. Infine, si presenteranno alcune possibili applicazioni delle condizioni di catena che garantiscono nei gruppi la presenza di "molti" sottogruppi con una determinata proprietà, e che sono state oggetto di ricerche anche in tempi recenti.

Riferimenti

[1] C. Casolo, Torsion-free groups in which every subgroup is subnormal. Rend. Circ. Mat. Palermo 50 (2001), 321-324.
[2] C. Casolo, Groups with all subgroups subnormal. Note Mat. 28 (2008), 1- 149.
[3] M.R. Celentani, A. Leone, Groups with restrictions on non-quasinormal sub- groups. Boll. Un. Mat. Ital. A (7) 11 (1997), 139-147.
[4] G. Cutolo, On groups satisfying the maximal condition on non-normal sub- groups. Riv. Mat. Pura App. 9 (1991), 49-59.
[5] G. Cutolo, L.A. Kurdachenko, Weak chain conditions for non-almost normal subgroups. In: Groups ’93 Galway/St. Andrews, 120-130 (Galway, 1993).

Splitting methods for the time integration of Parabolic PDEs of Advection Diffusion Reaction type

Prerequisiti

Linear Algebra, Ordinary Differential Equations, Partial Differential Equations. Numerical and Mathematical Analysis. Programming in Matlab.

Contenuti

1. Time integration of Ordinary Differential Equations (3 hours)
1. One-step methods: Runge-Kutta methods. Rosenbrock methods. Or- der conditions. Stiff problems. Linear stability properties. Variable step-size implementations. Integration of some stiff models: Nonlin- ear Reaction problems from Chemistry. (2 hours)
2. Linear Multistep methods. Order conditions. Linear stability Barriers. Practical methods for non-stiff and stiff problems. (1 hour)
2. Spatial Discretizations of Advection-Diffusion Reactions PDEs (3 hours)
1. Basic spacial discretizations for the 1D Advection-diffusion equations. Convergence of spatial discretizations with finite differences. Discrete Fourier Analysis. Boundary conditions and Spatial accuracy. Time stepping discretization. The Method of Lines (MoL). Stability and convergence of the MoL approach. Von Neumann stability analysis. Monotonicity properties. Positivity of time stepping methods. Mul- tidimensional aspects: Cartesian grid discretization for diffusion and advection. (1.5 hours)
2. Space discretizations of some time dependent models in PDEs: Advection- Diffusion equations. Pollulant Transport-Chemistry. 2D-Chemo-taxis problems. Angiogenesis model. Gray-Scott model. 3D-Combustion model. 2D Radiation-Diffusion Model. 2D Heston Model in Finance. (1.5 hours)
3. Splitting Methods for parabolic PDEs of advection dif- fusion reaction type (6 hours)
1. Operator Splitting: Lie-Trotter splitting and Strang splitting. (1 hour) 1
2. Locally One Direction methods (LOD). Trapezoidal Splitting Method. Local and global error in 2D. (1 hour)
3. Alternating Direction Implicit (ADI)-methods. Peaceman and Rach- ford method. Douglas Method. Stability. Local and global error analy- sis in several dimensions. (1 hour)
4. Rosenbrock type AMF methods. Stability aspects. Some interesting methods for 2D and 3D problems. IMEX methods (One-step and Mul- tistep cases). Stability and convergence of some methods. (2 hours)
5. Numerical experiments with: 2D-Angiogenesis model, 2D-Tumour In- vasion model, 3D-Combustion, 2D Radiation-Diffusion models. (1 hour)
4. AMF-W methods for parabolic PDEs. Applications in Finance (4 hours)
1. AMF-W- methods and AMFR-W-methods. A few interesting methods in the recent literature. Boundary corrections. (1 hour)
2. New results on stability and convergence in the Euclidean and inn the Maximum norms. (2 hours)
3. Applications to PDEs with mixed derivatives. Integration of the 2D Heston Model in Finance. (1 hour)

Remark: The main reference for the course is [5]

Riferimenti

[1] S. Gonzalez-Pinto, E. Hairer, D. Hernandez-Abreu, Convergence in l2 and l∞ norms of one-stage AMF-W methods for parabolic problems, SIAM J. Numer. Anal. 58, 2020, pp. 1117–1137.
[2] S. Gonzalez-Pinto, D. Hernandez-Abreu, S. Perez Rodriguez, AMFR- W-methods for parabolic problems with mixed derivatives. Application to the Heston Model, J. Comput. Appl. Math. 387 (2021) 112518.
[3] E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equa- tions I – Nonstiff problems, Springer-Verlag (1987, 1993).
[4] E. Hairer, G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II – Stiff and Differential Algebraic Problems, Springer-Verlag (1991, 1996).
[5] W. Hundsdorfer, J.G. Verwer, Numerical Solution of Time-Dependent Advection Diffusion Reaction Equations, Springer (2003, 2007).

Il metodo di Perron negli spazi armonici astratti e applicazioni alle EDP lineari del secondo ordine con forma caratteristica non negativa

Prerequisiti

Sono sufficienti le conoscenze acquisite nei corsi di Analisi Matematica della Laurea Magistrale in Matematica.

Contenuti

1. Il metodo di Perron per il Laplaciano.
   Funzioni armoniche, formula di media di Gauss, funzioni superarmoniche, soluzione del problema di Dirichlet per le sfere euclidee, nucleo di Poisson, soluzione generalizzata nel senso di Perron-Wiener del problema di Dirichlet, comportamento al bordo della soluzione di Perron-Wiener, teorema di Bouligand.
2. Spazi armonici astratti.
   Funzioni armoniche, subarmoniche e superarmoniche, operatore di Perron-Wiener-Brelot, soluzione generalizzata del problema di Dirichlet, comportamento al bordo della soluzione generalizzata: teorema di tipo Bouligand.
3. Applicazione della teoria del potenziale negli spazi armonici astratti allo studio del primo problema di valori al contorno per operatori lineari del secondo ordine con forma caratteristica non negativa. In particolare: operatori di Kolmogorov- Fokker- Planck.

Riferimenti

• Axler, Sheldon; Bourdon, Paul; Ramey, Wade; Harmonic Function Theory. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 137. Springer-Verlag, New York, 2001. xii+259 pp.
• Armitage, David H.; Gardiner, Stephen J.; Classical Potential Theory. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2001. xvi+333 pp.

Argomentare, dimostrare, spiegare

Prerequisiti

Buone conoscenze della matematica ‘elementare’; elementi di base di Didattica della matematica (Baccaglini-Frank et al.- Didattica della matematica; D’amore & Sbaragli - Principi di base della Didattica della matematica).

Contenuti

Introduzione alla problematica del rapporto tra argomentazione e dimostrazione come ambito di ricerca in didattica della matematica. Il corso ha l’obiettivo di presentare alcuni degli approcci teorici introdotti e alcuni risultati raggiunti dalla ricerca in questo ambito. Illustrando altresì qualche problema aperto e qualche pista da seguire per chi si appassionasse al problema.

Riferimenti

• Balacheff N. (2002/2004). The researcher epistemology: a deadlock from educational research on proof. Fou Lai Lin (Ed.) 2002 International Conference on Mathematics - "Understanding proving and proving to understand". Taipei: NSC and NTNU (pp. 23-44). Reprinted in Les cahiers du laboratoire Leibniz, 109, http://www-leibniz.imag.fr/NEWLEIBNIZ/LesCahiers/
• Bartolini Bussi, M. G., and Mariotti, M. A. (2008), Semiotic mediation in the mathematics classroom: artifacts and signs after a Vygotskian perspective. In L. English, M. Bartolini Bussi, G. Jones, R. Lesh, and D. Tirosh, eds. Handbook of International Research in Mathematics Education, second revised edition (pp. 746-805). Lawrence Erlbaum, Mahwah, NJ.
• Duval, R. (1991) Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la démonstration. In Educational Studies in Mathematics, 22(3), 233-263.
• Fischbein, E. (1982) Intuition and proof. In For the learning of mathematics 3 (2), 8-24.
• Lolli, G. (1988) Capire una dimostrazione. Il ruolo della logica nella matematica. il Mulino, Bologna.
• Mariotti M.A. (2006) Proof and proving in mathematics education. A. Gutiérrez & P. Boero (eds) Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education, (pp. 173-204) Sense Publishers, Rotterdam, The Netherlands. ISBN: 9077874194 , 173-204.
• Mariotti M.A., Durand-Guerrier V. and Stylianides, G. (2018). Argumentation and proof. In T. Dreyfus, M. Artigue, D. Potari, S. Prediger & K. Ruthven (Eds.), Developing research in mathematics education - twenty years of communication, cooperation and collaboration in Europe (pp. 75-99). London and New York: Routledge - New Perspectives on Research in Mathematics Education - ERME series, Vol. 1.
• Mariotti M. A. (2022) Argomentare e dimostrare come problema didattico. Ed. D Scuola.
• Reid, D. A., Knipping, C. (2010). Proof in mathematics education: Research, learning and teaching. Rotterdam, The Netherlands, Sense Publisher.
• Stylianides, A. J., Bieda, K. N., & Morselli, F. (2016). Proof and argumentation in mathematics education research. In A. Gutierrez, G. Leder, P. Boero (eds) The second handbook of research on the psychology of mathematics education: The journey continues. Rotterdam, The Netherlands, Sense Publisher, 315-351.

Un'introduzione ai gruppi di automorfismi di alberi

Prerequisiti

Corsi di base di algebra.

Contenuti

Il gruppo di automorfismi che agisce su un albero regolare con radice riveste particolare interesse nell'ambito della teoria dei gruppi. Ad esempio, alcune famiglie di sottogruppi di un gruppo di automorfismi di un albero regolare costituiscono un controesempio al famoso Problema Generale di Burnside. Questi gruppi hanno, inoltre, molte applicazioni anche in altre aree della matematica quali la dinamica, la probabilità e la crittografia.

In questo corso, si introdurranno i sopra citati gruppi di automorfismi di alberi e si presenteranno le connessioni di tali gruppi con varie branche della matematica. In seguito, si discuteranno esempi fondamentali, recenti risultati e problemi aperti.

Riferimenti

L. Bartholdi, R. I. Grigorchuk, and Z. Sunik, Branch groups, Handbook of Algebra, Volume 3, North-Holland pp. 989-1112 (2003)

Il problema di Poincaré per equazioni ellittiche lineari

Prerequisiti

Analisi funzionale, Equazioni differenziali.

Contenuti

Il problema di Poincaré è una variante del problema di derivata obliqua nel caso in cui il campo vettoriale risulta tangente alla frontiera del dominio considerata. Questo fatto rende il problema degenere e fa nascere degli effetti nuovi come perdita di regolarità della soluzione, dimensione infinita del nucleo o co-nucleo del problema e tanti altri. Il minicorso intende presentare un approccio diretto allo studio di risolubilità del problema di Poincaré nell'ambito degli spazi di Hoelder.

Riferimenti

Popivanov, Peter R.; Palagachev, Dian K. The degenerate oblique derivative problem for elliptic and parabolic equations, Mathematical Research. 93. Berlin: Akademie Verlag. 253 p. (1997).

Gruppi PFG e crescita di sottogruppi

Prerequisiti

Corsi di algebra offerti fino alla laurea magistrale.

Contenuti

Il corso ha come obbiettivo la dimostrazione del teorema di Mann-Shalev (Teorema 11.1) che connette i gruppi PFG con la crescita dei sottogruppi massimali di un gruppo. Per dimostrare questo teorema si utilizzeranno vari strumenti che svilupperemo e sono al centro della ricerca in teoria dei gruppi odierna; per esempio, misura di Haar e funzioni zeta. Se il tempo lo permetterà, il corso toccherà su recenti argomenti di ricerca del presentatore.

Riferimenti

Lubotzky and Segal, Subgroup Growth, Chapter 1 e 11.