Didattica | Offerta didattica dottorato XXXVII ciclo
Approfondimenti su temi inerenti alla didattica
Offerta Didattica
L'offerta didattica è stata formulata come segue.
Cliccando sui titoli si accede agli abstract, che sono comunque disponibili più in basso.
Si veda anche la versione inglese di questa pagina, con informazioni in inglese, quando disponibili.
A: attivo, in corso;
T: terminato.
Teoria dei Giochi
Abstract:
Game theory is the mathematical study of interaction among independent, self-interested agents. The main objective of the course is to understand the basic ideas behind the key concepts of Game Theory, such as equilibrium, rationality and cooperation.
The course introduces the analytical tools needed to understand how game theory is used, and illustrates these tools with some applications and examples (Prisoner's dilemma, Battle of sex, Bargaining, Ultimatum game, Centipede game, Repeated games).
Existence and uniqueness conditions are analysed.
Summary:
- Utility,decisionmakingandrationality
- Games,strategiesandtiming
- Dominance,iterateddominance,rationality
- Extendedformgameswithperfectinformation,backwardinduction 5. Nashequilibrium:pureandmixedstrategies.
- Subgameperfection,forwardinduction
- Repeatedgames,folktheorem
Bibliografia:
- Kokesen, L. and E. Ok. An Introduction to Game Theory. Online lecture notes, 2007.
- Myerson, Roger B. Game theory: analysis of conflict. Harvard university press, 1997.
- Patrone, Fioravante. Decisori (razionali) interagenti. Una introduzione alla teoria dei giochi. Edizioni plus, 2006.
- Tadelis, Steven. Game theory: an introduction. Princeton university press, 2013.
Metodi numerici avanzati per problemi differenziali
Nozioni fondamentali per il trattamento numerico di problemi differenziali di evoluzione: discretizzazione mediante i metodi passo-passo, concetti di convergenza e stabilità. Importanza della conservazione delle proprietà qualitative della soluzione, quali ad esempio la frequenza per problemi oscillanti, o l’energia di un sistema dinamico. Metodi exponentially fitted per problemi oscillanti. Metodi simplettici per problemi Hamiltoniani. Metodi che preservano l’energia, metodi che preservano la positività della soluzione. Esempi di applicazione in ambiente MATLAB o Python.
Prerequisiti.
Teoria di base sulle equazioni differenziali ordinarie. Principi di programmazione.
Frattali auto-simili: costruzione e dimensioni
Introduzione: Motivazioni. Nozioni preliminari: argomenti di teoria della misura, topologia e spazi metrici.
Sistemi di funzioni iterate: contrazioni e teorema delle contrazioni, metrica di Hausdorff, sistemi di funzioni iterate e loro attrattori, teorema del Collage.
Dimensioni di un frattale auto-simile: dimensione topologica, dimensione di similarità e dimensione di Hausdorff.
Esempi notevoli: Insieme di Cantor, Triangolo di Sierpinski, Fiocco di neve di von Koch e Spugna di Menger.
References
- Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, 2nd edition, Morgan Kaufmann, 2000.
- Gerald Edgar, Measure, Topology, and Fractal Geometry, 2nd edition, Springer, 2007.
- Kenneth Falconer, Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications, 3nd edition, Wiley, 2014.
- Jonathan M. Fraser, Assouad Dimension and Fractal Geometry, Cambridge University Press, 2021.
Gruppi di permutazioni
Descrizione del corso
Lo studio dei gruppi di permutazioni risale alle origini della Teoria dei Gruppi. All'inizio del XIX secolo Galois introdusse la nozione di gruppo nel suo studio delle permutazioni delle radici delle equazioni polinomiali, e i gruppi di sostituzioni calamitarono l'interesse di molti studiosi. La nozione moderna di gruppo di permutazioni è molto più generale, e trova importanti applicazioni in svariati ambiti: Combinatoria, Teoria delle Rappresentazioni, Teoria dei Numeri, Teoria dei Grafi, ... Basti pensare che l'insieme degli automorfismi di una qualsiasi struttura algebrica è un gruppo di permutazioni sul suo sostegno. D'altronde, per il teorema di Cayley, ogni gruppo può essere riguardato come un gruppo di permutazioni. In questo corso verranno illustrate le idee fondamentali alla base dello studio dei gruppi di permutazioni, con particolare riferimento al caso finito.
Prerequisiti
Le conoscenze di base di Teoria dei Gruppi fornite nei corsi obbligatori della laurea in Matematica.
Teoria dei modelli di Sullivan e applicazioni geometriche
ABSTRACT
L'algebra di de Rham delle forme differenziali su una varietà differenziabile determina completamente gli invarianti topologici reali della varietà. Tuttavia essa è poco maneggevole essendo infinito-dimensionale. L'anello di coomologia di de Rham fornisce informazioni sulla topologia della varietà ed è finito-dimensionale nel caso compatto. La teoria dell'omotopia reale fornisce un invariante topologico (detto modello) per le varietà differenziabili compatte che è più fine rispetto all'anello di coomologia di de Rham ma continua ad essere finito-dimensionale. Un modello di una varietà è definito come una algebra graduata con differenziale (CDGA), quasi-isomorfa all'algebra di de Rham delle forme differenziali. Nel corso saranno esposti alcuni concetti base della teoria dell'omotopia reale applicata a una varietà differenziabile. Si illustreranno alcuni esempi di varietà per le quali è noto un modello finito-dimensionale. L'esempio più famoso è dato dalle varietà di Kaehler compatte per le quali l'anello di coomologia (visto come una CDGA con differenziale zero) fornisce un modello per la varietà, che per questo si dice formale. Altri casi notevoli che saranno trattati sono dati dai gruppi di Lie, dalle nilvarietà e dalle varietà di Sasaki. Quando si dispone di più di un modello la teoria permette ottenere dei potenti risultati di classificazione, come nel caso delle nilvarietà di Kaehler, di Sasaki e di Vaisman che, tempo permettendo, saranno esposti al termine del corso.
PROGRAMMA DI MASSIMA
Richiami sull'anello di coomologia di de Rham
Richiami su varietà simplettiche e Kaehler, di contatto e Sasaki
Algebre commutative in senso graduato con differenziale (CDGA)
Quasi isomorfismi di CGDAs
Formalità
Esempi di modelli: forme invarianti a sinistra su una G-varietà
Formalità dei gruppi di Lie
Nilvarietà
Classificazione delle nilvarietà formali (Kaehler) e quasi formali (ad. es. Sasaki).
PREREQUISITI
Avere familiarità con i concetti di varietà differenziabile, campo vettoriale, k-forma differenziale e Calcolo di Cartan. Una precedente conoscenza dei concetti di base della coomologia di de Rham e dei rudimenti di topologia algebrica o algebra omologica potrà essere utile per una più profonda comprensione del contenuto del corso.
Processi di diffusione e metodi probabilistici
Programma previsto
Processi di diffusione. Classificazione delle barriere. Condizioni sulle barriere. Diffusione in un potenziale. Problemi di primo passaggio. Proprietà di simmetria. Analisi di processi di diffusione attraverso opportune trasformazioni. Processo del telegrafo. Processo del telegrafo integrato. Generalizzazioni del processo del telegrafo integrato. Introduzione al metodo di Stein per analisi della distanza tra distribuzioni di probabilità.
Spazi di tipo Morrey e loro applicazioni alle equazioni ellittiche
Si tratteranno i seguenti argomenti:
- Spazi di Morrey su aperti limitati.
- Applicazioni alle equazioni ellittiche.
- Spazi di Morrey su aperti non limitati.
- Risolvibilità del problema di Dirichlet su aperti non limitati.
Teoria della Formalità
Prerequisiti:
Geometria differenziale, algebre di Lie
Breve descrizione:
This course is focused on the theory of formal deformation quantization of Poisson manifolds, in the formalism developed by M. Kontsevich. The main topics covered are the basic theory of Poisson manifolds, star products and their classification, deformations of associative algebras and the formality theorem.
Operators and Semigroups associated to Forms
We consider operators with bounded measurable coefficients on arbitrary domains. The sesquilinear form technique provides the right tool to define such operators, and associates them with analytic semigroups on L2. We are interested in obtaining contractivity properties of these semigroups as well as Gaussian upper bounds on their associated heat kernels.
Introduzione al calcolo stocastico
Prerequisiti:
È richiesta la conoscenza della teoria dei processi stocastici ed in particolare del processo di moto Browniano e delle sue proprietà.
Programma previsto:
Medie condizionate. Cenni sulle Martingale. Costruzione e proprietà dell'integrale stocastico. Integrale di Ito e processi di Ito. Formula di Ito e sua versione multidimensionale.
Il caos in dinamica topologica
La teoria del caos si occupa dello studio di sistemi dinamici che esibiscono una sensibilità esponenziale alle condizioni iniziali, e la cui evoluzione, che risulta soltanto in apparenza casuale, può essere descritta da leggi deterministiche. Un principio alla base di tale teoria è il cosiddetto “effetto farfalla”, che descrive come un piccolo cambiamento in uno stato di un sistema deterministico non lineare può comportare grandi differenze in uno stato successivo (il che significa che c'è una dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali). L’idea classica secondo la quale uno stato di disordine e irregolarità possa essere completamente casuale iniziò a vacillare alla fine diciannovesimo secolo, con le ricerche di Henry Poincare’, padre della teoria moderna dei sistemi dinamici. Sembrava incredibile che alcuni sistemi, pur esibendo un comportamento disordinato apparentemente casuale, fossero governati da leggi.
Lo studio delle proprietà caotiche si colloca nella teoria moderna dei sistemi dinamici, che predilige uno studio qualitativo dei processi evolutivi, e che trae le sue origini dalla Teoria qualitativa delle equazioni differenziali, ampiamente studiata da H. Poincare’. A G. D. Birkhoff, fondatore della dinamica topologica, si deve poi la transizione dalla teoria qualitativa alla topologia. Nella sua forma più generale un sistema dinamico consiste in un insieme dotato di una topologia, una metrica, una struttura differenziale o una misura di probabilità e di un insieme di mappe compatibili con la struttura. Nel caso dei sistemi dinamici classici la struttura è quella di varietà differenziabile. Una possibile generalizzazione è quella di sistema dinamico topologico, in cui si assume che lo spazio delle fasi sia uno spazio topologico e la legge di evoluzione un gruppo ad un parametro di omeomorfismi o un semigruppo ad un parametro di trasformazioni continue. La teoria dei sistemi dinamici topologici, in breve dinamica topologica, ha per oggetto lo studio dei sistemi dinamici topologici, ed è il contesto nel quale si studiano proprietà topologiche strettamente legate ai processi evolutivi, come quelle che definiscono il caos. Non esiste una definizione matematica universalmente accettata di caos. Una definizione comunemente utilizzata afferma che un sistema dinamico è caotico se è sensibile alle condizioni iniziali, è topologicamente transitivo, possiede un insieme denso di punti periodici (Devaney Chaos). In alcuni casi le ultime due proprietà implicano la sensibilità alle condizioni iniziali. E’ allora sorprendente che la sensibilità alle condizioni iniziali risulti ridondante nella definizione e che, di conseguenza, il caos risulti essere una proprietà squisitamente topologica.
Il corso ha lo scopo di introdurre i concetti fondamentali di dinamica topologica, le principali proprietà dinamiche, con particolare riferimento a quelle mediante le quali si definiscono i vari tipi di caos, di studiare il comportamento caotico di alcuni significativi sistemi dinamici, di esaminare come i comportamenti caotici possano essere descritti con strumenti topologici e in che modo questo approccio abbia contribuito allo sviluppo della teoria del caos. Il corso si propone inoltre di evidenziare le numerose interconnessioni del caos con altre aree scientifiche, come, ad esempio, la medicina, nelle epidemie di malattie, l'ecologia, il flusso di fluidi, l'elettrochimica, la meccanica quantistica, l’educazione matematica, …, e di stimolare la riflessione su eventuali nuove applicazioni, anche in settori apparentemente distanti. Maneggiare eventuali esercizi e problemi proposti potrà essere utile a individuare, anche autonomamente, possibili temi di ricerca.
Programma
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Sistemi dinamici topologici e caos: Orbite. Punti periodici. Insiemi invarianti. Coniugazione topologica. Transitività topologica. Minimalità. Mescolamento topologico. Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. Chaos. Equicontinuità e mescolamento debole. La mappa tenda. Le mappe sulla circonferenza. La mappa iperbolica sul toro (mappa del gatto di Arnold). Sistemi dinamici caotici. Il Chaos secondo Devaney. Il caos secondo Li-Yorke. Varie forme di caos. Interdipendenze tra caos individuale e caos collettivo.
-
Applicazioni: Connessioni con altre discipline. Riflessioni e spunti di ricerca
Bibliografia
- E. Akin, The General Topology of Dynamical Systems , AMS Bookstore, 2010.
- M. Brin, G. Stuck,Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, 2002
- J. de Vries, Topological Dynamical Systems: An Introduction to the Dynamics of Continuous Mappings , De Gruyter Studies in Mathematics, 59, De Gruyter, Berlino, 2014.
- H. Poincaré (1892), "Sur les courbes définies par une équation différentielle", Oeuvres, 1, Paris
Il contenuto del corso è tratto da diversi libri e articoli di ricerca. Un elenco completo del materiale utilizzato, assieme alle note del docente, verrà fornito agli studenti iscritti durante il corso.
Un'introduzione al Prodotto Tensoriale di Gruppi
Abstract
Il prodotto tensoriale di gruppi è una costruzione che nasce nell'ambito della Topologia Algebrica, ed oggigiorno è ampiamente studiato in Teoria dei Gruppi per le sue interessanti proprietà. In letteratura, il primo esempio di prodotto tensoriale di gruppi viene costruito a partire da gruppi abeliani, come caso particolare di prodotto tensoriale di moduli. Successivamente, Brown e Loday hanno fornito una definizione di prodotto tensoriale per gruppi non necessariamente abeliani.
L'obiettivo di questo corso è di illustrare le proprietà generali e alcuni problemi aperti relativi al prodotto tensoriale di gruppi.
Prerequisiti
I partecipanti dovrebbero avere familiarità con anelli e moduli, ed è richiesta una conoscenza base di teoria dei gruppi. Tuttavia, saranno fornite nozioni preliminari riguardanti moduli e gruppi.
An introduction to homogenization
CONTENTS:
Some variational elliptic problems.
Modeling of composite materials and structures.
Homogenization of elliptic equations: the convergence result via energy method.
Comparison results among different homogenization techniques.
Gruppi e Simmetria
Programma del corso
Gruppi. Gruppi abeliani. Esempi: il gruppo simmetrico su un insieme, il gruppo generale lineare sui reali, il gruppo ortogonale, il gruppo ortogonale speciale. Sottogruppi, sottogruppi normali, gruppo quoziente. Esempi. Omomorfismi di gruppi. Gruppi isomorfi. Sistemi di generatori. Gruppi ciclici. Elementi periodici e aperiodici di un gruppo.
Spazi vettoriali su un campo. Esempi. Sottospazi. Basi di uno spazio vettoriale. Dimensione. Riferimenti. Applicazioni lineari: nucleo, immagine, equazione dimensionale. Matrice rappresentativa di un endomorfismo rispetto ad un riferimento fissato. Spazi vettoriali euclidei. Prodotto scalare standard. Norma di un vettore. Distanza. Angolo tra due vettori. Basi ortonormali. Caratterizzazione delle matrici ortogonali. Isometrie. Trasformazioni lineari rappresentate da matrici ortogonali. Traslazioni. Isometrie dirette ed inverse. Rotazioni, riflessioni rispetto ad un iperpiano.
Estensioni di gruppi. Prodotti diretti e prodotti semidiretti. Decomposizione del gruppo delle isometrie come prodotto semidiretto del gruppo delle traslazioni e del sottogruppo delle trasformazioni lineari ortogonali. Classificazione delle isometrie del piano e dello spazio. Il Teorema di Chasles ed il Teorema di Eulero.
Il gruppo simmetrico di grado n, il gruppo alterno di grado n. Azioni di un gruppo su un insieme finito.
Formula delle classi. Sottogruppi finiti del gruppo delle isometrie. Il teorema del punto fisso. Classificazione dei sottogruppi finiti di isometrie del piano. I gruppi diedrali. Classificazione dei sottogruppi finiti di isometrie dello spazio.
Sottogruppi discreti del gruppo delle isometrie. Classificazione dei sottogruppi discreti di R2. I reticoli piani. Definizione di gruppo cristellografico. Gruppo puntuale. Restrizione cristallografica. Classificazione dei reticoli piani.
Classificazione dei gruppi cristallografici piani: gruppi con reticolo obliquo, rettangolare, rettangolare centrato.
Gruppi cristallografici piani con reticolo quadrato e con reticolo esagonale. Le 17 classi di isomorfismo dei gruppi cristallografici piani.
I gruppi cristallografici spaziali. I 7 sistemi cristallini. I 14 reticoli di Bravais. I 32 gruppi puntuali dei gruppi cristallografici spaziali.
Bibliografia
- M.A. Armstrong Groups and Simmetry, Springer 1997
- M. Artin Algebra, Bollati Boringhieri 1990
- S.K. Chatterjee Crystallography and the World of Symmetry, Springer 2008
- U. Muller Symmetry Relationship between Crystal , Oxford Science Publications 2017
- S.K. Kim Group theoretical methods and applications to molecules and crystals, Cambridge University Press 1990
Teoria delle Categorie
Pagina web: http://logica.dipmat.unisa.it/lucaspada/1794-teoria-delle-categorie-corso-di-dottorato-2021-22/
Descrizione:
La teoria delle categorie è un linguaggio moderno, molto diverso da quello della teoria degli insiemi, in cui può essere formalizzata la matematica. Mentre il linguaggio degli insiemi ha come concetto fondamentale quello di appartenenza, il linguaggio della teoria delle categorie è incentrato sul concetto di trasformazione. Questo piccolo cambiamento iniziale ha ripercussioni enormi sulle intuizioni che guidano i ragionamenti matematici. Spesso, riformulare un problema in termini categoriali offre una prospettiva completamente diversa su di esso e aiuta a distinguere la parte “generale” di un problema dal quella più specifica.
Una buona parte della matematica contemporanea è espressa esclusivamente nel linguaggio della teoria delle categorie. Inoltre la teoria delle categorie si presta anche allo studio della fisica dove, ad esempio, le fusion categories e le categorie di moduli emergono nello studio degli stati topologici della materia nella fisica dello stato solido.
Equazioni ellittiche e paraboliche: da Fourier a Morrey
BREVE DESCRIZIONE:
L'obbiettivo del corso è di tracciare una panoramica sui problemi al bordo (Dirichlet e Cauchy-Dirichlet) per le equazioni differenziali lineari di tipo ellittico e parabolico. Le equazioni classiche di Laplace e del calore vanno studiate tramite il metodo di Fourier.
Le equazioni lineari con coefficienti continui ci permettono di ottenere una formula esplicita della soluzione tramite integrali con nucleo di Calderòn-Zygmund. Questa formula si può estendere anche nel caso di coefficienti discontinui con discontinuità controllabile via il modulo di oscillazione media. Verranno presentati risultati di continuità di operatori integrali, come l’operatore massimale e l’operatore di Calderòn-Zygmund, negli spazi di Lebesgue e di Morrey che ci permettono di ottenere stime a priori delle soluzioni negli spazi di Sobolev-Morrey sia nel caso ellittico che in quello parabolico.
Equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche del secondo ordine. Teoria L^p(R^N)
Contenuto:
In questo corso si espone una parte della teoria delle equazioni differenziali ellittiche alle derivate parziali del secondo ordine. Si studia l'invertibilità nello spazio L^p(R^N) di un operatore uniformemente ellittico del secondo ordine con coefficienti limitati e uniformemente continui.
Il prototipo di equazione ellittica è l'equazione di Poisson la cui risolubilità nello spazio L^p si ottiene grazie alla disuguaglianza di Calderón–Zygmund. Utilizzando il metodo di "continuità" si ottiene la risolubilità del problema in esame attraverso quella del problema modello. A tale scopo sono necessarie delle stime "a priori" che vengono ottenute usando la classica tecnica del "congelamento" dei coefficienti dell'operatore.
Introduzione alla teoria dell'elasticità
Programma
- Richiami di meccanica dei continui
- Classi costitutive
- Indifferenza materiale
- Determinismo, azione locale, materiali semplici e azione locale
- Vincoli interni
- Solidi elastici
- Solidi elastici
- Elasticità isotropa
- Solidi iperelastici ed energia potenziale elastica
- Energia elastica e indifferenza materiale
- Esempi di equazioni costitutive per solidi iperelastici isotropi
- Esempi di equazioni costitutive per solidi iperelastici incompressibili
- Estensione di solidi elastici
- Scorrimento semplice ed effetto Poynting
- Termoelasticità
- Elasticità e termoelasticità lineare
- Elasticità lineare
- Linearizzazione della relazione costitutiva
- Elasticità lineare isotropa
- Equazioni di moto per l’elasticità lineare isotropa
- Onde sinusoidali piane
- Deformazioni e stati di sforzo elementari
- Termoelasticità lineare
Prerequisiti
Meccanica dei sistemi materiali, algebra ed analisi vettoriale e tensoriale.
Riferimenti
- Forte, Preziosi, Vianello – Meccanica dei Continui – Springer
- Gurtin – An Introduction to Continuum Mechanics – Academic Press
Il pensiero complesso in didattica della matematica
BREVE DESCRIZIONE:
L’obbiettivo prioritario dell’intervento è quello di fornire le competenze necessarie a comprendere l’essenzialità che il concetto di complessità ricopre nei percorsi inerenti la didattica della matematica. Nello specifico, si pone l’accento sul pensiero complesso (Morin, 1993) e sull’articolazione dello stesso nella struttura del pensiero matematico, quale equivalente dell’interazione tra oggetti e processi (Sfard, 2009). In questo contesto di riflessione la cultura matematica risulta strettamente interconnessa con la cultura umanistica nel momento in cui viene analizzata come specifica capacità della mente di porsi in maniera critico/riflessiva nei confronti del mondo. A supporto di tale tesi, verranno anche forniti esempi di unità didattiche interdisciplinari.
Homological Methods in Differential Geometry
ABSTRACT:
The course aims at discussing various standard homological techniques in differential geometry, with particular emphasis on fibered and foliated manifolds.
TENTATIVE PROGRAM:
Filtered complexes
Double complexes
Spectral sequences
Fibrations
Leray-Serre spectral sequence
Local coefficients for De Rham cohomology
Gauss-Manin connection
Gysin sequence
Thom isomorphism
Kunneth formula
Foliations
Foliated cohomology
Basic cohomology
Foliated spectral sequence
PREREQUISITES:
The participants have to know the basics of differential geometry (manifolds, submanifolds, vector fields, differential forms, (vector) bundles, etc.) and the basics of homological algebra (cochain complexes, cochain maps, cohomologies, homotopies, etc.).
Multi-objective Optimization
Abstract:
This course provides an introduction to the fundamental concepts of multi-objective optimization. Focusing in particular on the class of linear (integer) programming problems with multiple criteria, the main scalarization techniques for the generation of the optimal Pareto frontier are presented (e.g. weighted sum method, e-constraint method). For the class of bi-objective problems, the two- phase method is also introduced. The course includes examples, exercises and an introduction to the use of two open source solvers for multi-objective linear programming problems, Bensolve and Polyscip.
Table of contents:
- Motivation deriving from real applications - Introduction
- Fundamental concepts and definitions
- Multi-objective Linear Programming
- Multi-objective Combinatorial Optimization - Scalarization Techniques
- Two-phase methods
- Examples
- Software packages: Bensolve and Polyscip
Nonsmooth Optimization with applications in Integer Programming and Machine Learning
The course (five two-hour lectures) will be given on 3-4th May, 2022, at the Università di Salerno.
The subjects are:
- Essentials of numerical nonsmooth (nondifferentiable) optimization (Lectures 1 and 2): Numerical treatment of optimization problems where the objective function is nondifferentiable (it exhibiths kinks, that is discontinuities of the derivatives) is the main topic. Starting from basic concepts of convex analysis (subgradient, subdifferential), two main classes of algorithms will be considered: subgradient and cutting plane-bundle methods. Extensions to nonconvex nonsmooth functions will be examined as well.
- Lagrangian relaxation and applications (Lectures 3 and 4): The Lagrangian relaxation of hard combinatorial or integer programming problems will be described from a theoretical point of view. It allows to model such problems in terms of minimization (or maximization) of an appropriate nonsmooth function (the Lagrangian dual). The technique will be put in action in tackling several applications in areas such as Logistics and Network design.
- Nonsmooth optimization and Machine Learning (Lecture 5): Supervised and unsupervised classification problems will be introduced. The focus will be on modelling such problems via nonsmooth optimization.
Prerequisites:
Basic Courses of Calculus, Linear Algebra and Operations Research
An Introduction to Lie Algebras
CONTENTS
Lie Algebra Basic concepts
Examples
Derivations
Ideals
Homomorphisms
Solvability and Lie's Theorem
Nilpotency and Engel's Theorem
Semisimple Lie Algebras.
Un’introduzione al telerilevamento e ai sistemi informativi geografici (GIS)
L’obbiettivo del corso è fornire i rudimenti per poter utilizzare i dati ottenibili da sensori remoti in ambito geofisico, ambientale e territoriale. Si partirà dai principi fisici del telerilevamento, dalla caratterizzazione della risposta delle diverse coperture del suolo in diverse regioni dello spettro elettromagnetico, dalle caratteristiche di un’immagine digitale e dalle risoluzioni spaziale, spettrale, radiometrica e temporale dei prodotti telerilevati; queste nozioni sono alla base della scelta del sensore/immagine da utilizzare in un progetto. Si passerà quindi all’analisi congiunta di immagini digitali telerilevate e altri dati cartografici con software GIS, che consente di integrare le informazioni dei diversi dati geo-spaziali per sviluppare un progetto.
Gravitational lensing: from mathematical theory to astrophysical applications
- Introduction to General Relativity and Cosmology (2h)
- Basics of Gravitational Lensing: deflection angle and lens equation (2h)
- Mathematical Theory: amplification, images, singularities (4h)
- Lens models: axial, elliptic and multiple lenses (4h)
- Macrolensing: strong lensing, weak lensing (2h)
- Microlensing: basics, statistics, planetary microlensing (4h)
- Black holes: strong deflection limit, shadow and images (2h)
La spettroscopia di rumore: una finestra nelle proprietà della materia
La spettroscopia di rumore è una tecnica sperimentale che analizza le fluttuazioni elettriche generate dai materiali conduttori in conseguenza di differenti meccanismi fisici interni. Tale tecnica ha dimostrato di possedere delle grandi potenzialità nell'individuazione dei processi cinetici e dei comportamenti dinamici dei portatori di carica, suscitando notevole interesse nell'ambito della Fisica della Materia Condensata. L'analisi delle proprietà di fluttuazione delle cariche elettriche consente di interpretare fenomeni complessi di trasporto molto interessanti sia dal punto di vista della ricerca di base che di quella applicativa. Proprio da quest’ultimo punto di vista, l'individuazione di possibili strategie per ridurre il rumore elettrico intrinseco risulta essere un requisito fondamentale per lo sviluppo di dispositivi tecnologici avanzati. In tal senso, l'utilizzo della tecnica di spettroscopia di rumore ha il notevole vantaggio di essere molto sensibile e non-distruttiva, e dunque applicabile su vasta scala.
Le lezioni forniranno una introduzione alla teoria del rumore, alle tecniche sperimentali per la sua caratterizzazione, ed esempi di svariati sistemi fisici dove questa tecnica permette di mettere in luce i meccanismi microscopici alla base del trasporto elettrico. In particolare, manganiti, gas elettronici bidimensionali, celle solari tradizionali e di ultima generazione, superconduttori, materiali a dimensionalità ridotta, e nanotubi di carbonio miscelati in matrici polimeriche saranno presi in considerazione per lo studio dei processi di fluttuazione.
Sistemi disordinati, repliche e complessità
A seguito del premio Nobel per la Fisica attribuito quest’anno a Giorgio Parisi questo ciclo di lezioni si incentra su alcuni degli argomenti che riguardano le motivazioni del premio sui sistemi disordinati e la complessità.
Si tratta di lezioni a taglio principalmente teorico, dove però non mancherò di menzionare anche alcuni risultati sperimentali con i quali la teoria deve riscontrarsi. Le lezioni sono pensate come autosufficienti, dunque a parte una discreta preparazione matematica di base non sono richieste conoscenze pregresse, tutto ciò che dovesse servire verrà presentato nel corso. Per questo motivo il ciclo si rivolge a studenti di Fisica, Matematica e di altre discipline scientifiche nonché a ricercatori in vari ambiti che siano interessati a conoscere e approfondire questi temi.
Nel corso verranno richiamati alcuni semplici concetti relativi alla Termodinamica e alla Meccanica Statistica, quali la teoria degli ensemble statistici, il fenomeno delle transizioni di fase, la rottura spontanea di simmetria e di ergodicità, gli stati puri, le teorie di campo medio, l’universalità. Si passerà poi a generalizzare alcuni di questi concetti al regno dei sistemi disordinati, con particolare riferimento a quelli frustrati, ovvero la classe dei modelli di vetri di spin, in particolare il modello p-spin. In seguito verrà derivata la soluzione di campo medio per questo modello, ottenuta all’interno del cosiddetto metodo delle repliche. Verrà considerata la soluzione replica-simmetrica e quelle con vari passi di rottura della simmetria di replica, fino alla soluzione di Parisi. Verranno anche toccati alcuni modelli strettamente imparentati, come il modello a energie casuali (random energy model (REM)) e alcuni problemi di ottimizzazione complessa.
Rivelatori gassosi ad elettrodi resistivi per la fisica della particelle
L’insegnamento si propone di fornire agli studenti un approfondimento su un tipo di rivelatore di particelle ampiamente utilizzato nella fisica delle particelle elementari per la rivelazione di radiazione cosmica e di particelle prodotte in collisioni agli acceleratori. L’obiettivo è fornire un quadro dei rivelatori gassosi a elettrodi resistivi, del loro recente diffuso utilizzo e delle loro prestazioni. Verranno descritti il processo di formazione del segnale, origine e propagazione della carica elettrica in un mezzo, le misure di caratterizzazione di tali rivelatori in termini di efficienza, risoluzione spaziale e temporale, e il loro impiego nell’identificazione di particelle mediante la tecnica di misura del tempo di volo. Per concludere, saranno illustrati alcuni interessanti risultati ottenuti in esperimenti ottimizzati per lo studio di eventi di collisioni tra protoni e/o ioni pesanti e in una rete di rivelatori di raggi cosmici.
Effetto Josephson, dispositivi superconduttori, qubit superconduttivi per le tecnologie quantistiche
Parte 1: Effetto Josephson e Dinamica non lineare nelle tecnologie quantistiche/Josephson effect and non-linear dynamics in quantum technologies
L’effetto Josephson descrive il passaggio di coppie di Cooper fra due superconduttori separati da uno strato non superconduttivo. Nel corso si studieranno le proprietà del singolo elemento Josephson, delle linee di trasmissione Josephson e dei fenomeni squisitamente non lineari che si manifestano: i solitoni, il caos e la sincronizzazione coerente delle oscillazioni. Infine, saranno illustrati i principi di funzionamento e le potenziali applicazioni di uno SQUID.
Parte 2: Elettronica superconduttiva
Si porrà l'attenzione sulle applicazioni più squisitamente “elettroniche” dei superconduttori, che si basano in gran parte sullo sfruttamento di proprietà quantistiche su scala macroscopica. Verranno analizzati in dettaglio esempi di applicazioni dei superconduttori come sensori magnetici, rivelatori di radiazione e come circuiti digitali. Verranno anche illustrate le principali applicazioni nei campi delle telecomunicazioni (classica e quantistica), astronomia, medicina e scienza dei materiali.
Parte 3: qubit superconduttivi
I qubit superconduttivi sono basati sulle giunzioni tunnel di Josephson, l’unico circuito non-dissipativo, fortemente non-lineare disponibile a basse temperature. Essi tendono ad essere accoppiati facilmente ad altri circuiti, il che li rende accessibili per l’implementazione delle operazioni di lettura ed delle porte logiche. Nelle lezioni discuteremo la teoria di base dei circuiti quantistici, i principali modelli di qubit superconduttivi ed infine accenneremo al problema della decoerenza con applicazioni alle tecnologie quantistiche.
Conceptual and Physical Foundations of Quantum Mechanics
Quantum mechanics is a well-established and successful scientific theory, even though its interpretation remains still controversial. This circumstance introduces most puzzling questions at the foundations of quantum mechanics, thus providing noticeable ways in which physicists are attempting to resolve them. Trying to clarify the state-of-the-art on the above-mentioned enigmatic topics, these lectures elucidate the basic concepts of quantum mechanics such as nonlocality, reality of the wavefunction and the measurement problem. Moreover, they will provide a discussion and a description of some of the most important mathematical results on recent work in quantum mechanics, including Bell's theorem, no-go theorems as well as the recent achievements christened as second quantum era.
Content of the lectures
- de Broglie hypothesis and its deeper meaning
- The postulates of quantum mechanics
- On the reality and completeness of quantum mechanics
- EPR paradox and its relevance
- Locality and realism of quantum mechanics
- No-go theorems
- Towards a modern quantum mechanics: quantum computing and quantum technologies
- Real quantum computers: the solid-state experience
Tecniche di caratterizzazione delle proprietà elettriche, termiche e magnetiche di materiali superconduttori rilevanti per le applicazioni
In queste lezioni verranno presentate le tecniche di caratterizzazione delle proprietà elettriche, magnetiche e termiche dei materiali superconduttori. Le procedure sperimentali e le problematiche relative agli studi sulla conduzione di corrente, magnetizzazione, suscettibilità, conducibilità termica e calore specifico in dipendenza dai parametri ambientali (temperatura, campo magnetico applicato) saranno i temi principali delle lezioni. Una breve introduzione sulla fisica fondamentale dei superconduttori sarà seguita da una sintesi delle principali tecniche di misura ed analisi. Il focus sarà sui materiali superconduttori riconosciuti come rilevanti per le applicazioni; quindi, verrà presentato anche un breve excursus. Infine, verrà analizzato il quench nei superconduttori tecnici.
Formazione ed evoluzione delle galassie
- Large scale structures, clustering. Formation and structure of dark matter halos. Baryonic matter and dark matter. Gravitational lensing. Sub-halo mass function. 4h
- Classification of galaxies. Stellar populations and chemical evolution. Statistical properties of falaxies. Scaling laws. Interactions of galaxies and physical mechanisms in the transformation and evolution of galaxies (internal and environmental mechanisms). 6h
Teorie quantistiche dei solidi
Un corso sulla teoria dei solidi dovrebbe sempre cominciare con una definizione di ciò che un solido rappresenta. Si può definite un solido come un array periodico di atomi che ha, in buona approssimazione, invarianza traslazionale discreta. I solidi posseggono dunque ordine. Questo ordine corrisponde ad un minimo locale dell’energia libera. Ogni forma di ordine (sia esso cristallino o magnetico) possiede un set di eccitazioni elementari con particolari simmetrie and relazioni di dispersione. In questo corso, introdurremo la teoria quantistica dell’ordine e di queste eccitazioni elementari nei solidi. Il corso in particolare introdurrà la teoria della rottura spontanea di simmetria, la descrizione alla Landau delle transizioni di fase, la condensazione di Bose, le eccitazioni nei magneti e i liquidi di Fermi.
Introduzione alla fisica dei sistemi con correlazioni elettroniche forti
Il corso introduce alle proprietà dei materiali il cui comportamento è dominato dalle interazioni elettrone-elettrone, spesso manifestando un comportamento di tipo isolante laddove il modello a bande ne prevede uno di tipo metallico. Vengono innanzitutto forniti esempi di classi di sistemi che manifestano tale caratteristica (nichelati, vanadati, ecc.), ponendo particolare attenzione ai vari tipi di transizione che per effetto delle correlazioni elettroniche segnano il passaggio da una fase metallica a una isolante. Viene poi introdotto il cosiddetto modello di Hubbard, che è il più semplice dei modelli che tengono esplicitamente conto dell'interazione coulombiana tra elettroni dello stesso atomo. Di tale modello viene anche analizzata la rilevanza in relazione alla fisica dei superconduttori ad alta temperatura critica.
Lo studio viene poi esteso al caso di sistemi contenenti momenti magnetici localizzati provenienti da atomi di terre rare o di attinidi. Tali sistemi presentano anomalie a basse temperature nelle funzioni di risposta per effetto delle correlazioni tra elettroni delle shell di tipo f , nonché delle interazioni tra elettroni di conduzione e momenti localizzati che sono all’origine dell’effetto Kondo e dell’interazione RKKY. Tali sistemi verranno analizzati nell’ambito del cosiddetto modello di Anderson, che rappresenta una generalizzazione del modello di Hubbard al caso di sistemi a due bande ibridizzate.
Non-equilibrium physics
One of the top research activities in modern condensed matter physics is to study the systems out of equilibrium. By the new experimental facilities for studying the real-time dynamics of non-equilibrium systems, the need for the corresponding theoretical tools gets more vital. One important approach to theoretically understand such systems is to exploit the theory of non-equilibrium Green’s functions (NEGF) which are fundamentally different from the equilibrium ones and still have so many issues to be explored and understood.
In this course we are going to give a detailed description of NEGFs. At first, we give a very brief review of the equilibrium many-body physics to recall some basic concepts and unify our notations. After that we start the NEGF theory and try to cover the following subjects: introduction to the non-equilibrium condition and describing the failure of the equilibrium many-body approach, Keldysh contour, EoM on the contour, NEGFs and correlators on the contour, Langrethe rules, Wick’s theorem, perturbative approximation and Feynman diagrams for NEGF, Dyson equation and self-energy for NEGF, mean-field approximations, conserving approximations for self-energy in non-equilibrium, Kadanoff–Baym equations, variational principle and Luttinger-Ward theorem, two-particle NEGFs, applications to transport problems with examples on QDs with e-e / e-ph interactions, application to transport in semiconductor physics out of equilibrium, etc.
References:
- G. STEFANUCCI, R. V. LEEUWEN , Non-equilibrium many-body theory of quantum systems, Cambridge University Press, 2013
- H. HAUG, A. JAUHO, Quantum Kinetics in Transport and Optics of Semiconductors, Springer, 2008
- Lecture notes and articles
Crescita di cristalli singoli e loro caratterizzazione mediante microscopia elettronica a scansione
Il corso ha come obiettivo la comprensione delle basi teoriche e sperimentali per la crescita epitassiale di cristalli singoli e dei principali fenomeni ad essa collegati. Durante il corso verranno introdotte le conoscenze di base delle principali tecniche di crescita di cristalli singoli (Czochralski, Floating zone, micro pulling, etc.) e delle tecniche diagnostiche tipicamente utilizzate con particolare riferimento alla microscopia elettronica a scansione. In particolare verranno illustrate le diverse tecniche spettroscopie per analisi composizionali e strutturali collegate all’impiego della microscopia elettronica a scansione.
Metodi avanzati per la caratterizzazione chimico-fisica delle superficie
I processi che avvengono alla superficie di un solido sono di enorme importanza in moltissimi campi della fisica e della chimica. E’ quindi molto importante conoscere, oltre alle proprietà di volume, anche le proprietà di superficie del solido. Il primo passo è sicuramente la determinazione della composizione elementare del materiale. A seguire può essere necessario accedere ad informazioni più approfondite come lo stato di ossidazione degli elementi, la struttura cristallina, la presenza di adsorbati, le proprietà elettriche di superficie, etc. Con lo sviluppo tecnologico recente i metodi di analisi di superficie sono diventati innumerevoli. Nel campo della ricerca di base, lo studio è essenzialmente rivolto alla conoscenza delle proprietà di cristalli singoli, film sottili, nanostrutture di vari materiali metallici, semiconduttori, superconduttori, isolanti. L’obiettivo del corso sarà dedicato alla comprensione dei meccanismi alla base di alcune delle tecniche maggiormente applicate nel campo della fisica della materia (spettroscopia di fotoemissione, spettroscopia Raman, diffrazione di elettroni a bassa energia, spettroscopia Auger).
Diffrazione a raggi X in materiali orientati
Il corso si propone di fornire le conoscenze di base sulla struttura cristallografica delle sostanze cristalline e sull'interazione della radiazione X con la materia. Particolare attenzione verrà rivolta alla diffrazione dei raggi X da parte di materiali cristallini, fenomeno che sta alla base di una delle tecniche di caratterizzazione microstrutturale di più largo impiego.
Il programma del corso: Raggi-X : natura, produzione, proprietà. L'interazione dei raggi-X con la materia. I metodi sperimentali per la diffrazione dei raggi-X. L'intensità della diffrazione dai solidi. Strutture di solidi cristallini. Reticoli di punti e piani reticolari. Il reticolo reciproco e le proiezioni stereografiche. Orientazioni preferenziali nei solidi policristallini.
